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Oscilaciones y Ondas

Parámetros del movimiento ondulatorio

Una onda es una perturbación que se propaga a través de un determinado medio o en el vacío, con transporte de energía pero sin transporte de materia. Es fácil imaginarse un tipo de ondas, que denominamos transversales, como las que se producen en la superficie de un estanque cuando dejamos caer una piedra sobre el agua, en las cuales se produce una perturbación o vibración en una dirección perpendicular a la de propagación de la onda. Si pudiéramos tomar una instantánea de la onda se obtendría una imagen similar a ésta:

onda_simple

La descripción de estos movimientos se realiza mediante una ecuación de onda que determina cuál es el estado de perturbación de cada uno de los puntos situados en la dirección de propagación (x) en un instante cualquiera (t). Aunque la onda no propaga materia, es decir, las partículas no se desplazan en la dirección de propagación, éstas sí efectúan un movimiento vibratorio que las sitúa en cada momento a una determinada distancia del punto de equilibrio, que se denomina elongación (y). La ecuación de onda es una función y = f(x,t) que suele expresarse mediante una serie de magnitudes o parámetros característicos del movimiento ondulatorio:

  • La amplitud: es la elongación máxima o, lo que es lo mismo, la máxima distancia de cualquier punto de la onda medida respecto a su posición de equilibrio. Su símbolo es A y se expresa en unidades de longitud (m).
  • La longitud de onda: es la distancia que existe entre dos puntos sucesivos que se encuentran en el mismo estado de vibración (misma elongación, velocidad, aceleración…). Se simboliza mediante la letra griega λ (lambda) y se expresa en unidades de longitud (m).
onda1
Los máximos de amplitud se denominan crestas; los mínimos, valles. La distancia entre dos crestas o dos valles consecutivos se corresponde con la longitud de onda.
  • El periodo: es el tiempo necesario para describir una oscilación completa o, también, el tiempo que emplea la onda en recorrer una longitud de onda. Su símbolo es T y se expresa en unidades de tiempo (s).

periodo amplitud

  • La frecuencia: es el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Se simboliza mediante f o con la letra griega ν (leída ni o nu) y su unidad es el s–1 o hercio (Hz).

frecuencia-onda

La frecuencia y el periodo se relacionan mediante:

relacion-periodo-frecuencia
Relación entre la frecuencia y el periodo

Teniendo en cuenta estas definiciones es posible determinar, de una manera sencilla, la velocidad de propagación de la onda:

velocidad-propagacion-onda

Figure_18_02_02a.jpg

Así, aunque no entraremos en detalles, sirva de ejemplo la ecuación de onda que relaciona estas magnitudes para una onda armónica, que puede escribirse como:

ecuacion-onda-armonica

Actividad de consolidación

A continuación se resuelve un ejercicio en el que se realiza una primera aproximación a las principales magnitudes o parámetros característicos del movimiento ondulatorio: amplitud, frecuencia, periodo, longitud de onda y velocidad de propagación.

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Dinámica Oscilaciones y Ondas

El péndulo simple

Un péndulo simple es un sistema idealizado que consta de una masa puntual suspendida de un punto fijo mediante un hilo inextensible y sin peso.

Simple_Pendulum_Oscillator

El péndulo simple es un sistema ideal, que puede estudiarse teóricamente aunque, en la práctica, sólo es posible construir de manera aproximada. No existen hilos inextensibles y sin masa, aunque sí podemos considerar que su masa es despreciable frente a la del cuerpo que está suspendido de él. Además, supondremos que la masa del cuerpo está concentrada en un sólo punto, de manera que su geometría no afecta al movimiento.

Así, si un cuerpo (a veces llamado lenteja) de masa m, colgado de un hilo de longitud L, se deja libre desde un ángulo θ sobre la vertical, describirá un movimiento periódico que puede analizarse a partir de las fuerzas que actúan sobre él:

pendulo-simple-fuerzas

  • Existe una tensión en el hilo que sujeta al cuerpo, dirigida hacia el punto de sujección.
  • Existe una fuerza peso vertical, que tiene dos componentes: una en la misma dirección del hilo, con sentido contrario a la tensión, por lo que la anula, y otra perpendicular a la anterior, constantemente dirigida hacia el centro, responsable del movimiento.

Por tanto, la fuerza resultante, según la segunda ley de Newton:

pendulo-estudio-fuerzas

Cuando el ángulo θ es lo suficientemente pequeño se puede realizar la siguiente aproximación:

pendulo-ecuacion-movimiento

El movimiento de un péndulo es, por tanto, aproximadamente armónico simple para pequeños desplazamientos angulares:

pendulo-periodo

Cuando un péndulo simple describe un ángulo pequeño su movimiento puede considerarse armónico y su periodo es independiente de la amplitud de las oscilaciones y de su masa. 

Para mayores amplitudes, la aproximación senθ ≅ θ  no es válida. Su movimiento continúa siendo periódico pero deja de ser armónico simple. Para determinar el periodo se debe tener en cuenta una ligera dependencia de la amplitud:

pendulo-simple-amplitud-grande

Ejercicios de aplicación

ejercicios-pendulo-simple-01

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Dinámica Oscilaciones y Ondas

Dinámica del movimiento armónico simple

Una partícula describe un movimiento armónico simple cuando se produce un movimiento de vaivén en torno a una determinada posición de equilibrio, estando sometida la partícula a una fuerza recuperadora constantemente dirigida hacia el centro de la trayectoria y proporcional a la elongación.

ley-hooke

Una partícula que describe un movimiento armónico simple constituye un oscilador armónico y está sometida a una fuerza restauradora opuesta al movimiento que responde a la ley de Hooke:

ley-hooke-expresion

En esta ley, el signo negativo indica que se trata de una fuerza restauradora, que se opone al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, y k es la constante recuperadora característica del oscilador , y que en el Sistema Internacional se expresa en N/m. Si la relacionamos con la segunda ley de Newton:

acelracion-movimiento-armonico

 

Teniendo en cuenta la expresión para la aceleración determinada en el estudio cinemático del movimiento armónico simple:

dinamica-oscilador-armonico

El periodo de oscilación (y, por tanto, la frecuencia) del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones y sólo depende de su masa y de la constante recuperadora (o constante armónica) del oscilador.

Puedes practicar estos conceptos con estos ejercicios.

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Cinemática Oscilaciones y Ondas

Cinemática del movimiento armónico simple

Una partícula que describe un movimiento armónico simple constituye un oscilador armónico y está sometida a una fuerza restauradora que se opone al movimiento. Esta fuerza responde a la ley de Hooke, que aplicada a un muelle:

ley-hooke-expresion

ley-hooke

En esta ley, el signo negativo indica que se trata de una fuerza restauradora, que se opone al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, y k es la constante del muelle, característica de su rigidez. Si la relacionamos con la segunda ley de Newton:

acelracion-movimiento-armonico

De esta relación se desprende un rasgo característico del movimiento armónico simple:

Cuando un cuerpo se mueve con una aceleración proporcional a su desplazamiento, pero de sentido opuesto, diremos que describe un movimiento armónico simple. 

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de x respecto a t:

ecuacion-movimiento-armonico-simple

La solución a esta ecuación diferencial puede escribirse así:

ecuacion-posicion-movimiento-armonico-simple

Simple_harmonic_motion_animation

Esta ecuación es la que describe el movimiento armónico simple, y podemos comprobar que mantiene una relación con el movimiento circular uniforme:

movimiento-circular-movimiento-armonico-simple

En estas expresiones:

  • x es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio, por lo que se mide en metros (m).
  • A es la amplitud o elongación máxima, por lo que también se mide en metros (m).
  • φ es la constante de fase, o simplemente fase, y φ0 es la fase inicial, medidas en radianes (rad).
  • ω es una constante denominada frecuencia angular (o pulsación), y tiene las mismas unidades que la velocidad angular, radianes por segundo (rad/s).

Teniendo en cuenta que se trata de un movimiento periódico, si en el tiempo t el oscilador armónico se encuentra en la posición x, cuando el tiempo t’ = t + T, su posición es x’:

periodicidad-movimiento-armonico

Considerando esta condición de igualdad de fase, la frecuencia angular será:

frecuencia-angular

Por último, las expresiones de la velocidad y la aceleración en el movimiento armónico simple se pueden obtener por derivación:

velocidad-aceleracion-movimiento-armonico-simple

velocidad-aceleracion-maximas-oscilador-armonico
En el punto de equilibrio la velocidad es máxima y la aceleración se anula, cambiando de signo y oponiéndose al movimiento. Al avanzar se va frenando, de modo que en los máximos de elongación la partícula tiene velocidad nula, y la aceleración alcanza su valor máximo forzando un cambio en el sentido de su movimiento.

Trabajando con las expresiones anteriores, pueden determinarse la fase inicial y la amplitud a partir de las condiciones iniciales (t = 0):

fase-inicial-amplitud-movimiento-armonico

Puedes trabajar todo lo anterior con estos ejercicios.

ACLARACIÓN IMPORTANTE:

ecuacion-movimiento-armonico-seno-coseno