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Oscilaciones y Ondas

El movimiento armónico amortiguado

Una partícula o un sistema que posee un movimiento oscilatorio constituye un oscilador. Si sobre el oscilador no actuasen fuerzas de rozamiento, oscilaría de manera indefinida. Sin embargo, en los movimientos oscilatorios se producen pérdidas de energía debidas a fuerzas disipativas que amortiguan la vibración. Se habla, entonces, de osciladores amortiguados:

oscilacion-amortiguada

La pérdida de energía en los osciladores amortiguados se traduce en una disminución progresiva de la amplitud de la vibración hasta que, finalmente, se detiene. En general, podemos considerar que existe una fuerza que frena el movimiento y que es proporcional a la velocidad, por tanto:

fuerza-oscilador-amortiguado

El movimiento de un sistema amortiguado se puede deducir a partir de la 2ª ley de Newton:

movimiento-amortiguado-ecuacion

En este caso, ω0 es la frecuencia angular sin amortiguación. La ecuación diferencial del movimiento amortiguado obtenida incluye un elemento más que la del oscilador armónico ideal, y su resolución requiere el uso de números complejos. Para pequeños amortiguamientos (γ < ω):

movimiento-amortiguado-solucion-ecuacion.png

Y la frecuencia viene dada por:

frecuencia-angular-movimiento-amortiguado.png

El valor crítico se obtiene cuando ω0 = γ:

valor-critico-amortiguamiento.png

En esta situación la partícula vuelve a su posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación. Si b aumenta más, la ecuación se vuelve imaginaria, no hay oscilación y la partícula se irá acercando gradualmente a la posición de equilibrio. Por tanto, se pueden considerar tres circunstancias:

osciladores-amortiguados

La amplitud va decreciendo según la siguiente expresión:

amplitud-oscilacion-amortiguada.png

movimiento-amortiguado-grafica.png

Como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud:

energia-oscilador-amortiguado

Ejercicio de aplicación

ejercicio-movimiento-armonico-amortiguado-01.png

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Oscilaciones y Ondas Trabajo y energía

Ejercicios de energía del oscilador armónico

Estos ejercicios abordan los aspectos energéticos de los osciladores armónicos, combinados con algunos conceptos cinemáticos y dinámicos, por lo que son un buen resumen de las nociones más relevantes del movimiento armónico simple.

Ejercicio 1

ejercicio-energia-oscilador-armonico-01

Ejercicio 2

ejercicio-energia-oscilador-armonico-02

Ejercicio 3

ejercicio-energia-oscilador-armonico-03

Ejercicio 4

ejercicio-energia-oscilador-armonico-04

Ejercicio 5

ejercicio-energia-oscilador-armonico-05

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Dinámica Oscilaciones y Ondas

Ejercicios de dinámica en osciladores armónicos

En algunas ocasiones, el estudio del movimiento armónico simple requiere considerar las fuerzas que lo causan. Para consolidar los aspectos dinámicos de los osciladores armónico se proponen los siguientes ejercicios, que complementan a los ejercicios puramente cinemáticos (que puedes consultar aquí).

Ejercicio 1

ejercicio-dinamica-oscilador-armonico-01

Ejercicio 2

ejercicio-dinamica-oscilador-armonico-02

Ejercicio 3

ejercicio-dinamica-oscilador-armonico-03

Puedes continuar con los siguientes ejercicios.

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Oscilaciones y Ondas Trabajo y energía

Energía del movimiento armónico simple

Energía cinética de un oscilador armónico

La energía cinética de un cuerpo de masa m que avanza con velocidad v es:

energia-cinetica

Recordando la ecuación de velocidad de un movimiento armónico simple:

velocidad-energia-movimiento-armonico-simple

Sustituyendo en la expresión general de la energía cinética:

energia-cinetica-oscilador-armonico

Por tanto, la energía cinética del oscilador armónico varía con la distancia al punto de equilibrio: es nula en los extremos (la velocidad es nula) y es máxima cuando pasa por el punto de equilibrio (la velocidad también es máxima).

velocidad-oscilador-armonico

Como todo oscilador armónico se mueve gracias a la existencia de una fuerza central que varía en función de la elongación en cada instante:

trabajo-energia-oscilador-armonico

El trabajo total realizado sobre un oscilador armónico es igual a la variación de la energía cinética que experimenta. 

Este enunciado se conoce como teorema de la energía cinética o de las fuerzas vivas. Una consecuencia es que si el trabajo total realizado sobre una partícula es nulo, la energía cinética no varía y, por tanto, su velocidad es constante. Esto sucede, por ejemplo, cuando la resultante es nula o es perpendicular al desplazamiento.

Energía potencial de un oscilador armónico

La fuerza recuperadora que se opone al movimiento de un oscilador es una fuerza central y, en consecuencia, es una fuerza conservativa a la que va asociada siempre una energía potencial.

Una fuerza es conservativa si el trabajo que efectúa al trasladar una partícula de un punto a otro sólo depende de las posiciones inicial y final, independientemente del camino seguido.

La variación de la energía potencial asociada a un oscilador armónico que se desplaza entre dos puntos es:

variacion-energia-potencial-oscilador-armonico

Como la energía potencial está asociada a una determinada posición, y ésta depende del sistema de referencia, no podemos determinar energías potenciales absolutas, sino que solamente podemos calcular variaciones de energía potencial. Sin embargo, si fijamos el sistema de referencia (arbitrariamente) en el punto de equilibrio, tendremos que en esa posición la energía potencial se anula y, por tanto, la energía potencial en cualquier otro punto será:

energía-potencial-oscilador-armonico

Energía mecánica de un oscilador armónico

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial:

energia-mecanica-oscilador-armonico

La energía total del movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud y es constante, lo cual era de esperar por tratarse de una fuerza conservativa.

Según el principio de conservación de la energía mecánica, si sobre un cuerpo sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva.

En un oscilador armónico hay una transformación continua de las energías cinética y potencial:

conservacion-energia-oscilador-armonico-grafica

Para una mejor comprensión te recomiendo los siguientes ejercicios.

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Dinámica Oscilaciones y Ondas

Dinámica del movimiento armónico simple

Una partícula describe un movimiento armónico simple cuando se produce un movimiento de vaivén en torno a una determinada posición de equilibrio, estando sometida la partícula a una fuerza recuperadora constantemente dirigida hacia el centro de la trayectoria y proporcional a la elongación.

ley-hooke

Una partícula que describe un movimiento armónico simple constituye un oscilador armónico y está sometida a una fuerza restauradora opuesta al movimiento que responde a la ley de Hooke:

ley-hooke-expresion

En esta ley, el signo negativo indica que se trata de una fuerza restauradora, que se opone al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, y k es la constante recuperadora característica del oscilador , y que en el Sistema Internacional se expresa en N/m. Si la relacionamos con la segunda ley de Newton:

acelracion-movimiento-armonico

 

Teniendo en cuenta la expresión para la aceleración determinada en el estudio cinemático del movimiento armónico simple:

dinamica-oscilador-armonico

El periodo de oscilación (y, por tanto, la frecuencia) del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones y sólo depende de su masa y de la constante recuperadora (o constante armónica) del oscilador.

Puedes practicar estos conceptos con estos ejercicios.