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Cinemática del movimiento armónico simple

Una partícula que describe un movimiento armónico simple constituye un oscilador armónico y está sometida a una fuerza restauradora que se opone al movimiento. Esta fuerza responde a la ley de Hooke, que aplicada a un muelle:

ley-hooke-expresion

ley-hooke

En esta ley, el signo negativo indica que se trata de una fuerza restauradora, que se opone al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, y k es la constante del muelle, característica de su rigidez. Si la relacionamos con la segunda ley de Newton:

acelracion-movimiento-armonico

De esta relación se desprende un rasgo característico del movimiento armónico simple:

Cuando un cuerpo se mueve con una aceleración proporcional a su desplazamiento, pero de sentido opuesto, diremos que describe un movimiento armónico simple. 

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de x respecto a t:

ecuacion-movimiento-armonico-simple

La solución a esta ecuación diferencial puede escribirse así:

ecuacion-posicion-movimiento-armonico-simple

Simple_harmonic_motion_animation

Esta ecuación es la que describe el movimiento armónico simple, y podemos comprobar que mantiene una relación con el movimiento circular uniforme:

movimiento-circular-movimiento-armonico-simple

En estas expresiones:

  • x es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio, por lo que se mide en metros (m).
  • A es la amplitud o elongación máxima, por lo que también se mide en metros (m).
  • φ es la constante de fase, o simplemente fase, y φ0 es la fase inicial, medidas en radianes (rad).
  • ω es una constante denominada frecuencia angular (o pulsación), y tiene las mismas unidades que la velocidad angular, radianes por segundo (rad/s).

Teniendo en cuenta que se trata de un movimiento periódico, si en el tiempo t el oscilador armónico se encuentra en la posición x, cuando el tiempo t’ = t + T, su posición es x’:

periodicidad-movimiento-armonico

Considerando esta condición de igualdad de fase, la frecuencia angular será:

frecuencia-angular

Por último, las expresiones de la velocidad y la aceleración en el movimiento armónico simple se pueden obtener por derivación:

velocidad-aceleracion-movimiento-armonico-simple

velocidad-aceleracion-maximas-oscilador-armonico
En el punto de equilibrio la velocidad es máxima y la aceleración se anula, cambiando de signo y oponiéndose al movimiento. Al avanzar se va frenando, de modo que en los máximos de elongación la partícula tiene velocidad nula, y la aceleración alcanza su valor máximo forzando un cambio en el sentido de su movimiento.

Trabajando con las expresiones anteriores, pueden determinarse la fase inicial y la amplitud a partir de las condiciones iniciales (t = 0):

fase-inicial-amplitud-movimiento-armonico

Puedes trabajar todo lo anterior con estos ejercicios.

ACLARACIÓN IMPORTANTE:

ecuacion-movimiento-armonico-seno-coseno

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El movimiento oscilatorio

movimiento-oscilatorio
Movimiento periódico y oscilatorio (Fuente: Wikipedia)

El movimiento de un cuerpo unido a un muelle es un movimiento periódico, pues en él se repiten todas las magnitudes del movimiento a intervalos regulares de tiempo. Como puedes apreciar en la imagen, se produce un movimiento de ida y vuelta en el que en cada una de las posiciones el cuerpo tiene una velocidad y aceleración determinadas, que hacen que se reproduzca de manera reiterada a lo largo del tiempo. Se dice, entonces, que tiene lugar un movimiento oscilatorio o vibratorio.

Un movimiento oscilatorio es un movimiento periódico de vaivén en torno a una posición central, denominada posición de equilibrio.

Entonces, un movimiento oscilatorio es siempre un movimiento periódico. Sin embargo, un movimiento periódico no es necesariamente un movimiento oscilatorio. Por ejemplo, los movimientos circulares uniformes, como el giro de un plato en el microondas o la rotación terrestre (suponiendo una órbita circular), son movimientos periódicos, que se repiten en intervalos fijos de tiempo llamados periodos, pero en los que no se produce oscilación alguna en torno a una posición de equilibrio.

Una partícula o un sistema que posee un movimiento oscilatorio constituye un oscilador. Si sobre el oscilador no actuasen fuerzas de rozamiento, oscilaría de manera indefinida. Sin embargo, en los movimientos oscilatorios se producen pérdidas de energía debidas a fuerzas disipativas que amortiguan la vibración (se habla, entonces, de osciladores amortiguados). Para mantener constante este movimiento habría que suministrar a la partícula o al sistema una energía igual a la disipada por el rozamiento (osciladores forzados o sostenidos).

Aunque existen muchos ejemplos familiares de movimientos oscilatorios, como las vibraciones en las cuerdas de algunos instrumentos o el péndulo de un reloj, muchos otros son menos evidentes e imperceptibles, como las vibraciones de los átomos o las moléculas de un cristal o las oscilaciones electromagnéticas de las ondas de radio o televisión.

oscilacion-reloj
El funcionamiento de un reloj se basa en un mecanismo de oscilaciones sincronizadas que se repiten periódicamente a intervalos constantes de tiempo. En los relojes de péndulo, las oscilaciones son mecánicas, mientras que en los de cuarzo, son eléctricas.

Parámetros del movimiento vibratorio

Todo movimiento oscilatorio o vibratorio se caracteriza por una serie de parámetros, que describimos a continuación:

  • Periodo (T): es el tiempo que se necesita para describir una un oscilación completa (movimiento de ida… ¡y vuelta!). Se mide en segundos (s).
  • Frecuencia (fν): es el número de oscilaciones completas efectuadas por unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz).

frecuencia-periodo

  • Elongación (x, y o z): es la posición de la partícula respecto a la posición de equilibrio. Se mide en metros (m).
  • Amplitud (A): es el valor máximo de la elongación, por lo que la distancia entre las dos posiciones extremas es igual a 2A. Se mide en metros (m).

pendulo

Movimiento armónico simple

Siempre que una partícula se desplaza desde una posición de equilibrio estable, el movimiento de la partícula es armónico simple (si los desplazamientos son suficientemente pequeños). La partícula que describe un movimiento (vibratorio) armónico simple se denomina oscilador armónico, y está constantemente sometida a una fuerza restauradora, proporcional a la elongación, que se opone al movimiento.

fuerza-recuperadora-elastica

Un estudio más profundo lo puedes encontrar en: