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Dinámica del movimiento armónico simple

Una partícula describe un movimiento armónico simple cuando se produce un movimiento de vaivén en torno a una determinada posición de equilibrio, estando sometida la partícula a una fuerza recuperadora constantemente dirigida hacia el centro de la trayectoria y proporcional a la elongación.

ley-hooke

Una partícula que describe un movimiento armónico simple constituye un oscilador armónico y está sometida a una fuerza restauradora opuesta al movimiento que responde a la ley de Hooke:

ley-hooke-expresion

En esta ley, el signo negativo indica que se trata de una fuerza restauradora, que se opone al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, y k es la constante recuperadora característica del oscilador , y que en el Sistema Internacional se expresa en N/m. Si la relacionamos con la segunda ley de Newton:

acelracion-movimiento-armonico

 

Teniendo en cuenta la expresión para la aceleración determinada en el estudio cinemático del movimiento armónico simple:

dinamica-oscilador-armonico

El periodo de oscilación (y, por tanto, la frecuencia) del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones y sólo depende de su masa y de la constante recuperadora (o constante armónica) del oscilador.

Puedes practicar estos conceptos con estos ejercicios.

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Cinemática Oscilaciones y Ondas

Cinemática del movimiento armónico simple

Una partícula que describe un movimiento armónico simple constituye un oscilador armónico y está sometida a una fuerza restauradora que se opone al movimiento. Esta fuerza responde a la ley de Hooke, que aplicada a un muelle:

ley-hooke-expresion

ley-hooke

En esta ley, el signo negativo indica que se trata de una fuerza restauradora, que se opone al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio, y k es la constante del muelle, característica de su rigidez. Si la relacionamos con la segunda ley de Newton:

acelracion-movimiento-armonico

De esta relación se desprende un rasgo característico del movimiento armónico simple:

Cuando un cuerpo se mueve con una aceleración proporcional a su desplazamiento, pero de sentido opuesto, diremos que describe un movimiento armónico simple. 

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de x respecto a t:

ecuacion-movimiento-armonico-simple

La solución a esta ecuación diferencial puede escribirse así:

ecuacion-posicion-movimiento-armonico-simple

Simple_harmonic_motion_animation

Esta ecuación es la que describe el movimiento armónico simple, y podemos comprobar que mantiene una relación con el movimiento circular uniforme:

movimiento-circular-movimiento-armonico-simple

En estas expresiones:

  • x es la elongación o desplazamiento respecto al punto de equilibrio, por lo que se mide en metros (m).
  • A es la amplitud o elongación máxima, por lo que también se mide en metros (m).
  • φ es la constante de fase, o simplemente fase, y φ0 es la fase inicial, medidas en radianes (rad).
  • ω es una constante denominada frecuencia angular (o pulsación), y tiene las mismas unidades que la velocidad angular, radianes por segundo (rad/s).

Teniendo en cuenta que se trata de un movimiento periódico, si en el tiempo t el oscilador armónico se encuentra en la posición x, cuando el tiempo t’ = t + T, su posición es x’:

periodicidad-movimiento-armonico

Considerando esta condición de igualdad de fase, la frecuencia angular será:

frecuencia-angular

Por último, las expresiones de la velocidad y la aceleración en el movimiento armónico simple se pueden obtener por derivación:

velocidad-aceleracion-movimiento-armonico-simple

velocidad-aceleracion-maximas-oscilador-armonico
En el punto de equilibrio la velocidad es máxima y la aceleración se anula, cambiando de signo y oponiéndose al movimiento. Al avanzar se va frenando, de modo que en los máximos de elongación la partícula tiene velocidad nula, y la aceleración alcanza su valor máximo forzando un cambio en el sentido de su movimiento.

Trabajando con las expresiones anteriores, pueden determinarse la fase inicial y la amplitud a partir de las condiciones iniciales (t = 0):

fase-inicial-amplitud-movimiento-armonico

Puedes trabajar todo lo anterior con estos ejercicios.

ACLARACIÓN IMPORTANTE:

ecuacion-movimiento-armonico-seno-coseno