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Oscilaciones y Ondas

El movimiento armónico amortiguado

Una partícula o un sistema que posee un movimiento oscilatorio constituye un oscilador. Si sobre el oscilador no actuasen fuerzas de rozamiento, oscilaría de manera indefinida. Sin embargo, en los movimientos oscilatorios se producen pérdidas de energía debidas a fuerzas disipativas que amortiguan la vibración. Se habla, entonces, de osciladores amortiguados:

oscilacion-amortiguada

La pérdida de energía en los osciladores amortiguados se traduce en una disminución progresiva de la amplitud de la vibración hasta que, finalmente, se detiene. En general, podemos considerar que existe una fuerza que frena el movimiento y que es proporcional a la velocidad, por tanto:

fuerza-oscilador-amortiguado

El movimiento de un sistema amortiguado se puede deducir a partir de la 2ª ley de Newton:

movimiento-amortiguado-ecuacion

En este caso, ω0 es la frecuencia angular sin amortiguación. La ecuación diferencial del movimiento amortiguado obtenida incluye un elemento más que la del oscilador armónico ideal, y su resolución requiere el uso de números complejos. Para pequeños amortiguamientos (γ < ω):

movimiento-amortiguado-solucion-ecuacion.png

Y la frecuencia viene dada por:

frecuencia-angular-movimiento-amortiguado.png

El valor crítico se obtiene cuando ω0 = γ:

valor-critico-amortiguamiento.png

En esta situación la partícula vuelve a su posición de equilibrio en el tiempo más breve posible sin oscilación. Si b aumenta más, la ecuación se vuelve imaginaria, no hay oscilación y la partícula se irá acercando gradualmente a la posición de equilibrio. Por tanto, se pueden considerar tres circunstancias:

osciladores-amortiguados

La amplitud va decreciendo según la siguiente expresión:

amplitud-oscilacion-amortiguada.png

movimiento-amortiguado-grafica.png

Como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud:

energia-oscilador-amortiguado

Ejercicio de aplicación

ejercicio-movimiento-armonico-amortiguado-01.png

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Oscilaciones y Ondas Trabajo y energía

Ejercicios de energía del oscilador armónico

Estos ejercicios abordan los aspectos energéticos de los osciladores armónicos, combinados con algunos conceptos cinemáticos y dinámicos, por lo que son un buen resumen de las nociones más relevantes del movimiento armónico simple.

Ejercicio 1

ejercicio-energia-oscilador-armonico-01

Ejercicio 2

ejercicio-energia-oscilador-armonico-02

Ejercicio 3

ejercicio-energia-oscilador-armonico-03

Ejercicio 4

ejercicio-energia-oscilador-armonico-04

Ejercicio 5

ejercicio-energia-oscilador-armonico-05

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Cinemática Oscilaciones y Ondas

Ejercicios de cinemática del movimiento armónico simple

Con estos ejercicios practicaremos con las ecuaciones y los parámetros característicos del movimiento armónico simple:

Ejercicio 1

ejercicio-cinematica-movimiento-armonico-01

Ejercicio 2

ejercicio-cinematica-movimiento-armonico-02

Ejercicio 3

ejercicio-cinematica-movimiento-armonico-03

Ejercicio 4

ejercicio-cinematica-movimiento-armonico-04

Ejercicio 5

ejercicio-cinematica-movimiento-armonico-05

Ejercicio 6

ejercicio-cinematica-movimiento-armonico-06

Ejercicio 7

ejercicio-cinematica-movimiento-armonico-07

Ejercicio 8

ejercicio-cinematica-movimiento-armonico-08

Puedes seguir practicando con estos ejercicios.

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Dinámica Oscilaciones y Ondas

El péndulo simple

Un péndulo simple es un sistema idealizado que consta de una masa puntual suspendida de un punto fijo mediante un hilo inextensible y sin peso.

Simple_Pendulum_Oscillator

El péndulo simple es un sistema ideal, que puede estudiarse teóricamente aunque, en la práctica, sólo es posible construir de manera aproximada. No existen hilos inextensibles y sin masa, aunque sí podemos considerar que su masa es despreciable frente a la del cuerpo que está suspendido de él. Además, supondremos que la masa del cuerpo está concentrada en un sólo punto, de manera que su geometría no afecta al movimiento.

Así, si un cuerpo (a veces llamado lenteja) de masa m, colgado de un hilo de longitud L, se deja libre desde un ángulo θ sobre la vertical, describirá un movimiento periódico que puede analizarse a partir de las fuerzas que actúan sobre él:

pendulo-simple-fuerzas

  • Existe una tensión en el hilo que sujeta al cuerpo, dirigida hacia el punto de sujección.
  • Existe una fuerza peso vertical, que tiene dos componentes: una en la misma dirección del hilo, con sentido contrario a la tensión, por lo que la anula, y otra perpendicular a la anterior, constantemente dirigida hacia el centro, responsable del movimiento.

Por tanto, la fuerza resultante, según la segunda ley de Newton:

pendulo-estudio-fuerzas

Cuando el ángulo θ es lo suficientemente pequeño se puede realizar la siguiente aproximación:

pendulo-ecuacion-movimiento

El movimiento de un péndulo es, por tanto, aproximadamente armónico simple para pequeños desplazamientos angulares:

pendulo-periodo

Cuando un péndulo simple describe un ángulo pequeño su movimiento puede considerarse armónico y su periodo es independiente de la amplitud de las oscilaciones y de su masa. 

Para mayores amplitudes, la aproximación senθ ≅ θ  no es válida. Su movimiento continúa siendo periódico pero deja de ser armónico simple. Para determinar el periodo se debe tener en cuenta una ligera dependencia de la amplitud:

pendulo-simple-amplitud-grande

Ejercicios de aplicación

ejercicios-pendulo-simple-01

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Oscilaciones y Ondas Trabajo y energía

Energía del movimiento armónico simple

Energía cinética de un oscilador armónico

La energía cinética de un cuerpo de masa m que avanza con velocidad v es:

energia-cinetica

Recordando la ecuación de velocidad de un movimiento armónico simple:

velocidad-energia-movimiento-armonico-simple

Sustituyendo en la expresión general de la energía cinética:

energia-cinetica-oscilador-armonico

Por tanto, la energía cinética del oscilador armónico varía con la distancia al punto de equilibrio: es nula en los extremos (la velocidad es nula) y es máxima cuando pasa por el punto de equilibrio (la velocidad también es máxima).

velocidad-oscilador-armonico

Como todo oscilador armónico se mueve gracias a la existencia de una fuerza central que varía en función de la elongación en cada instante:

trabajo-energia-oscilador-armonico

El trabajo total realizado sobre un oscilador armónico es igual a la variación de la energía cinética que experimenta. 

Este enunciado se conoce como teorema de la energía cinética o de las fuerzas vivas. Una consecuencia es que si el trabajo total realizado sobre una partícula es nulo, la energía cinética no varía y, por tanto, su velocidad es constante. Esto sucede, por ejemplo, cuando la resultante es nula o es perpendicular al desplazamiento.

Energía potencial de un oscilador armónico

La fuerza recuperadora que se opone al movimiento de un oscilador es una fuerza central y, en consecuencia, es una fuerza conservativa a la que va asociada siempre una energía potencial.

Una fuerza es conservativa si el trabajo que efectúa al trasladar una partícula de un punto a otro sólo depende de las posiciones inicial y final, independientemente del camino seguido.

La variación de la energía potencial asociada a un oscilador armónico que se desplaza entre dos puntos es:

variacion-energia-potencial-oscilador-armonico

Como la energía potencial está asociada a una determinada posición, y ésta depende del sistema de referencia, no podemos determinar energías potenciales absolutas, sino que solamente podemos calcular variaciones de energía potencial. Sin embargo, si fijamos el sistema de referencia (arbitrariamente) en el punto de equilibrio, tendremos que en esa posición la energía potencial se anula y, por tanto, la energía potencial en cualquier otro punto será:

energía-potencial-oscilador-armonico

Energía mecánica de un oscilador armónico

La energía mecánica es la suma de la energía cinética y la energía potencial:

energia-mecanica-oscilador-armonico

La energía total del movimiento armónico simple es proporcional al cuadrado de la amplitud y es constante, lo cual era de esperar por tratarse de una fuerza conservativa.

Según el principio de conservación de la energía mecánica, si sobre un cuerpo sólo realizan trabajo las fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva.

En un oscilador armónico hay una transformación continua de las energías cinética y potencial:

conservacion-energia-oscilador-armonico-grafica

Para una mejor comprensión te recomiendo los siguientes ejercicios.