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Representación de vectores

Una gran cantidad de magnitudes físicas son vectoriales, ya que para definirlas es necesario asignarles un valor numérico, una unidad de medida y, a diferencia de las magnitudes escalares, también una dirección y un sentido. Por ejemplo, nos faltaría información si solo dijéramos que salimos de la ciudad a una velocidad de 70 km/h, ya que también habría que indicar hacia dónde nos dirigimos, es decir, cuál es la dirección que tomamos y en qué sentido nos movemos. Estas magnitudes se definen mediante unas estructuras algebraicas llamadas vectores.

La posición, la velocidad o la fuerza son magnitudes vectoriales. Imaginémonos por un momento a un turista despistado nos pide ayuda porque no encuentra un determinado monumento de nuestra ciudad y le tenemos que explicar la manera de encontrarlo. Le daríamos una serie de indicaciones “vectoriales” que le permitirían llegar hasta él. Mentalmente, nosotros nos imaginaríamos una línea recta que va desde donde nos encontramos hasta el punto al que el turista quiere llegar. De alguna manera, esa linea imaginaria sería una representación vectorial de ese camino que le llevaría a su destino. Sin embargo, es bastante probable que ese camino en línea recta se vea impedido por la presencia de algún edificio, algún parque o alguna carretera, por lo que deberemos buscar una ruta alternativa que, partiendo del mismo punto, le permita encontrar el monumento siguiendo una serie de trayectos más pequeños. Así, las indicaciones serían del tipo “sigue todo recto por esta calle hasta llegar a un cruce”, “gira a la derecha en la primera esquina”, etc. Te habrás dado cuenta que un desplazamiento que inicialmente se podía representar mediante un vector, se puede descomponer en una serie de desplazamientos más cortos que producen el mismo resultado. Es decir, cualquier vector puede expresarse como una suma de vectores, situados uno a continuación del otro, siempre y cuando el punto de partida y el punto de llegada coincidan:

suma-de-vectores-por-el-método-gráfico-1.3

Cuando estamos en plena calle es sencillo ver qué dirección y sentido tomar. Tenemos muchos puntos de referencia que nos permiten orientarnos: una fuente, una gasolinera, una terraza… Sin embargo, estas referencias no nos sirven cuando queremos hacer un estudio matemático de ese movimiento y necesitamos recurrir a algún tipo de estrategia que nos permita definirlo sin ambigüedades. Por ello, tenemos que buscar una manera más rigurosa de representar esos vectores. Para hacerlo, fijaremos como sistema de referencia un conjunto de ejes de coordenadas que nos permitan situar ese vector en el espacio:

sistema-de-coordenadas
Sistema de coordenadas en tres dimensiones (x, y, z).

Las tres dimensiones espaciales son a las que hacemos referencia cuando medimos la anchura, la altura y la profundidad a la que se encuentra un objeto. En un sistema de coordenadas como el anterior, la posición de un punto vendría determinada también por tres números, cada uno asociado a un eje, y que se representaría (x, y, z):

posicion-punto-ejes-coordenadas

Así, el punto (3,2,5) sería aquel en el que contamos tres unidades en el eje x, dos unidades en el eje y y cinco unidades en el eje z. Cualquier vector queda perfectamente definido si conocemos su origen y su punto de aplicación.

vector-ab

Por ejemplo, dado el punto A (2,2,3) y el punto B (4,3,3), el vector que une A con B sería: AB = (4,3,3) – (2,2,3) = (2,1,0). Todos los vectores que, aunque tengan orígenes y puntos de aplicación distintos, se definan con los mismos valores (x, y, z) serán vectores equivalentes o equipolentes:

vectores-equivalentes

Como la elección del sistema de referencia es arbitraria, podemos hacer coincidir el origen de un vector con el origen del sistema de coordenadas, es decir, con el punto (0,0,0) en el que convergen los tres ejes:

vector-eje-coordenadas

Teniendo esto en cuenta, un vector queda perfectamente definido a partir de sus componentes tridimensionales o proyecciones sobre los ejes x, y y z:

componentes-vector

Las componentes vectoriales de cada uno de los ejes pueden expresarse en función de unos vectores unitarios, que son aquellos que tienen como módulo la unidad, como dirección la del eje al que pertenecen y que se orientan en el sentido creciente del eje (desde valores negativos hacia valores positivos). Los vectores unitarios que tienen la dirección de los ejes x, y y z son los vectores i, j y k:

vectores-unitarios

Por tanto, un vector podría expresarse como una suma de vectores proporcionales a los vectores unitarios:

vector-componentes-unitario

El módulo del vector puede calcularse a partir de la siguiente expresión, que se puede deducir a partir de la geometría del paralelepípedo que forman las tres componentes vectoriales y aplicando el teorema de Pitágoras:

modulo-vector

Otra manera de definir un vector conllevaría especificar su módulo y el ángulo que forma con los ejes, para cuya determinación podríamos recurrir a cálculos trigonométricos. Aunque no es la única opción, habitualmente se recurre a los cosenos directores para el cálculo de los ángulos αβγ (ángulos directores) que forma el vector con los ejes x, y y z, haciendo uso de las siguientes expresiones:

cosenos-directores

 

 

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Las magnitudes escalares y vectoriales

En una entrada previa se introducía el concepto de “magnitud” que, básicamente, hace referencia a cualquier propiedad física o química que puede medirse. El procedimiento de medida implica una comparación con una determinada cantidad que se toma como referencia y que se denomina patrón unidad. Así, distinguíamos un grupo reducido de magnitudes fundamentales (la longitud, la masa, el tiempo, la temperatura, la intensidad de corriente eléctrica, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia), a partir de las cuales podían definirse todas las demás, conocidas como magnitudes derivadas. Esta primera clasificación atiende a las unidades empleadas en su medida, pero podemos hacer otra clasificación de las magnitudes en función de los elementos que son necesarios para su definición. Según esto, se pueden diferenciar magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

Magnitudes escalares

Se denominan magnitudes escalares aquellas que quedan perfectamente definidas con un número y la unidad correspondiente. Por ejemplo, la longitud, la masa, el volumen, el tiempo, la temperatura, la energía o la presión.

Así, cuando decimos “un metro de cable”, “dos litros de leche”, “cien gramos de jamón” o cocinamos “a 180 grados centígrados”, no es necesario dar más explicaciones y las magnitudes a las que hacen referencia quedan plenamente definidas con la cifra numérica y su unidad.

Magnitudes vectoriales

Las magnitudes vectoriales son aquellas que, para una completa definición, además de un número y la unidad correspondiente, hay que especificar una dirección y un sentido de aplicación. A diferencia de las magnitudes escalares, que tienen el mismo valor para todos los observadores, las magnitudes vectoriales toman valores diferentes para distintos observadores.

Si ves que un ladrón le roba el bolso a una señora y, posteriormente, le tienes que explicar a un policía lo ocurrido, no bastará con que le digas que el ladrón se escapó corriendo muy rápido, sino que será realmente importante que puedas informar también hacia dónde se echó a correr, es decir, en qué dirección y sentido se produjo la huída. Por tanto, la velocidad, al igual que la aceleración o la fuerza, es una magnitud vectorial.

Las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante vectores, que no son más que segmentos orientados mediante una punta de flecha:

vector

Un vector se define mediante los siguientes elementos:

  • Módulo: es el valor numérico de la magnitud, representado a escala.
  • Dirección: es la recta a la que pertenece el vector.
  • Sentido: es la orientación del vector, representado por la punta de flecha.
  • Punto de aplicación: es el origen del vector.

Una magnitud vectorial suele representarse añadiendo una flecha sobre la letra que la simboliza, aunque en los textos también aparece, seguramente por cuestiones tipográficas, con la letra sin flecha y en negrita. En el primer caso, el módulo se representa entre barras, en el segundo, simplemente la letra (sin negrita). En resumen:

representacion-vector-modulo